Balkenrechner: Lagerreaktionen, Biegemoment, Spannungen

This page in English: Calculator for beams

Dieser Online-Balkenrechner berechnet die in den beiden Auflagern wirkenden Kräfte bzw. Momente (=Auflagerreaktionen) und die Neigungswinkel statisch bestimmter und statisch unbestimmter Träger (bzw. Balken) auf zwei Stützen, auch als Einfeldträger bezeichnet. Als Belastung kann eine Gleichlast oder eine Einzellast bzw. die Kombination aus beiden oder eine Dreieckslast gewählt werden.

Zudem können die Querkraft, das Biegemoment, die Biegespannung und die Durchbiegung an einer gewünschten Stelle x und auch die Maximalwerte inklusive der dazugehörenden Stelle bestimmt werden. Der Verlauf des Biegemoments, der Querkraft und der Durchbiegung in Abhängigkeit der Länge x wird in zwei Diagrammen grafisch dargestellt. Die zulässigen Biegespannungen für ausgewählte Werkstoffe finden Sie in einer Tabelle weiter unten auf dieser Seite.

Rechner für Auflagerreaktionen, Querkraft & Biegemoment von statisch (un)bestimmt gelagerten Balken

Beachten Sie unbedingt die Hinweise und die Erklärung der Abkürzungen nach dem Rechner!

Lager A
Lastfall
Lager B

l	m	F	kN
a	m	q	kN/m
F_A	kN	F_B	kN
M_A	kNm	M_B	kNm

x_M.m	m	M_y.m	kNm
x	m	M_y(x)	kNm
x	m	Q (x)	kN

Zusatzfunktionen: Biegespannungen, Neigungswinkel & Durchbiegung

Eingabe oder näherungsweise Berechnung (hier mehr Infos) der Flächenträgheitsmomente bzw. der Widerstandsmomente von Profilen bezüglich der
y-Achse (Kraft F wirkt senkrecht)
z-Achse (Kraft F wirkt waagrecht)

A
H	mm
B	mm
Wst.
I_y *	cm⁴

d	mm
h	mm
b	mm
E **	N/mm²
W_y *	cm³

	↓F
F →

σ_x.m		N/mm²
σ_x (x)		N/mm²
α_A		°
α_B		°
x_f.m		m
f_m		mm
f (x)		mm

* Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Querschnitt A –> Sonstige Profile –> “Eigenes Profil”.

** Der E-Modul wird automatisch durch die Auswahl eines Werkstoffs eingetragen, er kann jederzeit geändert werden; passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia. Der für Holz angegebene E-Modul ist als Richtwert zu verstehen; genaue Werte findet man z. B. auf schweizer-fn.de, wo nach Holzart, Festigkeitsklasse und Faserrichtung unterschieden wird.

Links zu weiteren Unterseiten

Lagerreaktionen berechnen (statisch bestimmte Träger); Satz von Castigliano / Menabrea
Formeln, die dieser Rechner verwendet (Berechnung der Auflagerreaktionen, Winkel & Durchbiegung)
Tipps: Ist zum Beispiel die Kraft F oder die Länge l (= Spannweite des Balkens) gesucht, kann man die Lösung per Iteration ermitteln. Für weitere Lastfälle sei auf die Seite Superpositionsprinzip verwiesen.

Wichtige Hinweise

Im Maschinenbau ist in der Regel die maximal auftretende Spannung das Auslegungskriterium für Bauteile. In einigen Fällen ist jedoch auch die maximale Durchbiegung zu beachten. Bei der Lagerung von Wellen ist der Neigungswinkel von großer Bedeutung. Die Werte für die zulässigen Biegespannungen nach Bach finden Sie etwas weiter unten auf dieser Seite.
Im Stahl- und Metallbau wird oft der Begriff Gebrauchstauglichkeit verwendet: Es ist sicherzustellen, dass die Konstruktion der jeweiligen Belastung trotz Durchbiegung standhält. Je nach Anforderung ist dabei eine maximale Durchbiegung von l/500 bis l/250 zulässig, wobei l die Länge des Trägers ist.
Bei Profilen mit Loch werden unter den Zusatzfunktionen nur I, W und die maximale Spannung korrekt berechnet. Wählen Sie für die anderen Werte ein Profil ohne Loch!
Die Schubspannung wird nicht berücksichtigt. Sie kann jedoch normalerweise vernachlässigt werden. Bei sehr kurzen Trägern ist das aber nicht zulässig!
Auch die Eigenmasse wird nicht berücksichtigt. Sie können aber zum Beispiel mit meinem Gewichtrechner die Eigenmasse als Gleichlast q berechnen.
Die Einheit der Belastungen ist stets in kN einzugeben, also muss man gegebenenfalls die Einheiten umrechnen: 1 kN = 1000 N; in der Regel gilt auf der Erde: 1 kg ≈ 9.81 N = 0.00981 kN. Beträgt die Last zum Beispiel 250 kg, setzt man in den Rechner für die Kraft F = 2.45 kN ein: 250*9.81/1000 = 2.45 kN.
Die Berechnung der Flächenträgheitsmomente und der Widerstandsmomente erfolgt für idealisierte Profile, das heißt, schräge Kanten und Abrundungen werden nicht berücksichtigt!
Die grafische Darstellung der Durchbiegung und die Berechnung haben entgegengesetzte Vorzeichen. Das Vorzeichen, das sich durch die Berechnung ergibt, ist korrekt (positive z-Achse weist nach unten). Es ist jedoch anschaulicher, wenn die Durchbiegung so dargestellt wird, wie sich der Balken tatsächlich verformt.
Eventuelle Sprünge im Querkraftverlauf können nicht ganz korrekt dargestellt werden.
Bei senkrecht belasteten U-Trägern können die Spannungen und Durchbiegungen nur dann richtig berechnet werden, wenn
- die Kraft F im Schubmittelpunkt angreift
- oder zwei U-Träger miteinander verbunden werden, also [ ] bzw. ] [ und die Belastung in der Mitte der beiden Balken erfolgt. In diesem Fall ist die halbe Kraft F in den Rechner einzusetzen.
Für die richtige Funktion wird keine Gewähr übernommen – für Berichtigungen und Verbesserungsvorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!

Erklärung der Abkürzungen

Fliegende L. ist die Abkürzung für fliegende Lagerung; die Kraft F greift außerhalb der beiden Lager an.

F_A	Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
F_B	Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
M_A	Einspannmoment im Lager A
M_B	Einspannmoment im Lager B; bei fliegender Lagerung Moment im Balken bei x = a.
x_M.m	Stelle des maximalen Biegemoments; Achtung: es wird auch bei mehreren, gleich großen Biegemomenten nur eine Stelle angegeben!
M_y.m	maximales Biegemoment
x	beliebige Stelle, an der das Biegemoment, die Querkraft, die Biegespannung und die Durchbiegung berechnet werden soll
M_y (x)	Biegemoment an der Stelle x
Q (x)	Querkraft an der Stelle x
A	Querschnitt des Profils
Wst.	Werkstoff (“Material”)
E-M	E-Modul, passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia
I_y	Flächenträgheitsmoment
W_y	Widerstandsmoment
σ_x	Biegespannung in der Randfaser an der Stelle x
σ_x.m	maximale Biegespannung im Balken an der Stelle x_M.m. Es ist zu prüfen, ob der Balken diese Spannung auch aushält!
α_A	Neigungwinkel (= Verdrehung) des Balkens im Lager A
α_B	Neigungwinkel (= Verdrehung) des Balkens im Lager B
x_f.m	Stelle der maximalen Durchbiegung des Trägers
f_m	maximale Durchbiegung des Balkens an der Stelle x_f.m unter der Last F. Es ist eventuell zu prüfen, ob diese Durchbiegung auch zulässig ist! In der Regel reicht es jedoch, wenn nur die Spannungen kontrolliert werden.
f (x)	Durchbiegung (= Verschiebung) des Balkens an der Stelle x

Weitere Hinweise für die Verwendung des Rechners

Damit die Spannungen, Winkel und Durchbiegungen korrekt berechnet werden können, ist auf die Einbaulage des Balkens zu achten:

Mit der Voreinstellung “Berechnung von Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment bezüglich der y-Achse” muss die Wirkungslinie der Kraft F genau in der z-Achse verlaufen (Ausnahme: U-Profil).

Querschnitt eines I-Trägers mit Kraft F in z-Richtung

Bei der Auswahl “Berechnung von Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment bezüglich der z-Achse” muss die Wirkungslinie der Kraft F hingegen genau in der y-Achse verlaufen (Ausnahme: T-Profil), das heißt, der Träger wird um 90° gedreht.

Querschnitt eines I-Trägers mit Kraft F in y-Richtung

Weist die Kraft F bzw. q in die andere Richtung, setzt man vor diese Belastung(en) ein negatives Vorzeichen.
Die Auflager können als Festlager, Loslager, feste Einspannung (auch beidseitig) oder als freies Ende ausgeführt sein.
Folgende Querschnitte sind verfügbar, wobei die mit * bezeichneten Profile auch ein Durchgangsloch bzw. eine Bohrung besitzen können:

Rundstange (Kreis) *
Rundrohr (Kreisring)
Halb-Rundstab (Halbkreis)
Rechteck-Profil *
Rechteck-Hohlprofil / Formrohr / Vierkantrohr *
Rechteck mit Bohrung
I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger) *

U- bzw. C-Profil *
T-Profil
L-Profil (Winkelprofil), gleich- & ungleichschenkelig
L-Profil (gleichschenkelig) um 45° gedreht
Gleichschenkeliges / gleichseitiges Dreieck
Sechseck / Sechskant
Achteck / Achtkant

Zulässige Biegespannungen nach Bach

Wird die Streckgrenze R_e bzw. die Fließgrenze R_eN überschritten, kommt es zu plastischen – also bleibenden – Verformungen des Bauteils, was im Maschinenbau in aller Regel auszuschließen ist.

Bei statischer bzw. ruhender Beanspruchung (insgesamt weniger als 10 000 Lastwechsel) kann die zulässige Spannung σ_b.zul näherungsweise mit der folgenden Formel berechnet werden, wobei eine Sicherheit von 1.6 angenommen wird:

$$\sigma_{b.zul}=\frac{R_e}{1.6}$$

Bei der Zugfestigkeit R_m handelt es sich um die maximale Spannung, die ein Werkstoff aushält. Wird diese Spannung überschritten, kommt es zum Bruch des Balkens.

In der folgenden Tabelle findet man die zulässigen Biegespannungen nach Bach. Die Auswahl der korrekten Werte erfolgt zunächst aufgrund des Werkstoffs und der Art der Belastung, also ruhend, schwellend oder wechselnd.

Welcher Wert im jeweiligen Bereich zu wählen ist, hängt unter anderem ab von der

Größe des Bauteils
Kerbwirkung, z. B. durch Nuten, Absätze, Löcher, …
Beschaffenheit der Oberfläche
Auslegung auf Zeitfestigkeit oder auf Dauerfestigkeit

Die Werkstoffkennwerte für ein paar bekannte Stähle finden Sie in dieser Tabelle, wobei die zulässigen Spannungen immer Sicherheiten beinhalten:

	Zulässige Biegespannungen in N/mm²
Beanspruchung	S235 (St 37) *	S355 (St 52) **	42CrMo4 *	Nadelholz
ruhend (= statisch) laut obiger Formel	147	222	563	/
ruhend (= statisch)	110 – 165 (- 280)¹	155 – 235 (- 390)¹	385 – 660 (- 990)¹	10 ***
schwellend	70 – 105 (- 270)²	100 – 150 (- 380)²	245 – 420 (- 825)²
wechselnd	50 – 75 (- 180)²	70 – 105 (- 255)²	175 – 240 (- 550)²
Streckgrenze R_e ³	235	355	900
Zugfestigkeit R_m ³	360	510	1100	~ 30

* Werte nach Bach aus “Grundlagen der Maschinenelemente” (Arbeitsblätter zum Skriptum), TU Wien

** berechnet aus den Werten für S235

*** Wert für Konstruktionsholz nach: https://www.bullinger.de/produkte/konstruktionsholz/statikbauphysik.html

¹ Die Werte in Klammern entsprechen der 1.1 bis 1.2 fachen Streckgrenze R_e; ansonsten gilt ähnliches wie unter 2.

² Die Werte in den Klammern gelten für einen idealen, sehr glatten Probestab mit einem Durchmesser von 16 mm (Sicherheit = 1) und sind dem Tabellenbuch Roloff/Matek, Maschinenelemente^o entnommen. Diese Werte können in der Praxis eigentlich nie verwendet werden und stehen daher in einer Klammer, weil man immer gewisse Sicherheiten aufgrund der über der Tabelle angeführten Punkte einplanen muss.

³ Mindestwerte, gelten für einen Durchmesser von 16 mm

Formeln & auswählbare Kombinationen

Formeln

Die vom Rechner verwendeten Formeln findet man auf dieser Unterseite:

Formeln für Berechnung der Auflagerreaktionen, Winkel & Durchbiegung

Mit dem Rechner können die Auflagerkräfte sowohl statisch bestimmter als auch statisch unbestimmter Systeme berechnet werden. Lager A kann als Festlager oder als feste Einspannung ausgeführt sein. Lager B darf ein Loslager, eine feste Einspannung oder ein freies Ende sein. Handelt es sich bei Lager A um eine feste Einspannung und ist Lager B gar nicht vorhanden (= freies Ende), nennt man diesen Aufbau Kragträger, Kragbalken oder auch Kragarm.

Greift die Kraft außerhalb der Lager an, handelt es sich um eine sogenannte fliegende Lagerung. Diese Lagerungsart kommt öfters bei Wellen bzw. Achsen vor.

Folgende Kombinationen sind möglich: