Schwerpunkt ein­facher und zusammen­ge­setzter Flächen

Auf dieser Seite wird zunächst erklärt, wie man den Flächen­schwerpunkt einfacher und zusammen­gesetzter Flächen berechnen kann. Natürlich findet man auch die zur Berechnung benötigten Formeln.

Zuletzt wird die Lage des Schwer­punkts einer zusammen­gesetzten Figur (unsym­metrisches Rechteck­hohlprofil) bestimmt, dieses Beispiel wird komplett durch­gerechnet.

Inhaltsverzeichnis

• Einführung
• Einfache geometrische Flächen
• Zusammengesetzte Flächen
• Beispiel: Berechnung Flächen­schwer­punkt eines Rechteck­hohlprofils (nur um eine Achse symmetrisch)
  • Angabe
  • Lösung der Aufgabe
    • Aufteilung in zwei Teil­flächen
    • Wahl der Bezugs­kante, Anfertigung einer Skizze und Erstellung einer Tabelle
    • Berechnung der Lage des Gesamt­schwer­punktes
    • Variante: Aufteilung in vier Teilflächen

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Einführung

Der geometrische Schwer­punkt von Flächen wird Flächen­schwerpunkt genannt. Die Berechnung des Flächen­schwerpunkts wird für einige Anwendungen in der Mechanik benötigt. Zum Beispiel kann bei Kenntnis der Lage des Gesamtschwerpunkts das Flächen­trägheits­moment komplexer Quer­schnitte bestimmt werden.

Falls eine Fläche Symmetrie­achsen besitzt, liegt der Flächen­schwerpunkt immer auf dieser bzw. auf diesen Symmetrie­achsen. So befindet sich zum Beispiel der Schwer­punkt eines Rechtecks in der Mitte der Fläche, vergleiche Formel 4.1.

Einfache geometrische Flächen

In der folgenden Tabelle findet man die Lage des Schwer­punktes und die Formeln zur Berechnung des Schwer­punkt­abstandes von ein­fachen geo­metrischen Flächen. SP ist die Abkürzung für den Schwer­punkt, y₀ be­zeichnet den Schwer­punkt­abstand von einer Bezugs­kante bzw. von einem Bezugs­punkt.
 

Formeln für zusammen­gesetzte Flächen

Falls man die Schwer­punkt­abstände komplexerer Flächen berechnen möchte, benötigt man die folgenden zwei Formeln.

Schwer­punkt­abstand x₀ in Richtung der x-Achse (Formel 4.5):

$$x_0=\frac{\sum x_i·A_i}{\sum A_i}=\frac{x_1·A_1+x_2·A_2+…}{A_1+A_2+…}$$

Schwerpunktabstand y₀ in Richtung der y-Achse (Formel 4.6):

$$y_0=\frac{\sum y_i·A_i}{\sum A_i}=\frac{y_1·A_1+y_2·A_2+…}{A_1+A_2+…}$$

Analog dazu bestimmt man den Schwer­punkt­abstand z₀ in Richtung der z-Achse.

Die Flächen bzw. Abstände können unter gewissen Um­ständen auch negative Werte annehmen:

• Je nach Lage der Bezugs­kante ist es möglich, dass Teil­schwerpunkt­abstände und/oder der gesamte Schwer­punkt­abstand ein negatives Vor­zeichen bekommen.
• Hat die Fläche Bohrungen oder andere Aus­schnitte, werden diese Flächen in der Formel mit einem negativen Vor­zeichen ver­sehen.

Beispiel: Teilweise un­symme­tri­sches Recht­eck­hohl­profil

Dieses Beispiel wird komplett durch­ge­rechnet, wobei die Bestimmung der Lage des Gesamt­schwer­punkts nach der zuvor beschriebenen Vor­gangs­weise erfolgt.

Angabe

Lösung der Aufgabe

Aufteilung in zwei Teil­flächen

Die Gesamt­fläche wird in zwei Teil­flächen aufgeteilt: Die Fläche des äußeren Rechtecks bekommt die Nummer 1, die innere Fläche die Nummer 2. Die innere Fläche wird abgezogen, deshalb erhält sie ein negatives Vorzeichen.
 

Wahl der Bezugskante, Anfertigung einer Skizze und Erstellung einer Tabelle

Anschließend werden eine Tabelle und eine Skizze erstellt, wobei i die Nummer der jeweiligen Teil­fläche ist. Als Bezugs­kante wird die äußerste linke Seite des Profils gewählt. Von dieser Kante aus werden die zwei Abstände x₁ und x₂ zu den beiden Teil­schwer­punkten bzw. der Abstand x₀ zum Gesamt­schwer­punkt ermittelt.
 

Die Werte in den einzelnen Feldern dieser Tabelle werden auf folgende Weise bestimmt:

Flächeninhalte:

Äußere Teilfläche 1: A₁ = 65 mm·45 mm = 2925 mm²

Innere Teilfläche 2: A₂ = 40 mm·30 mm = -1200 mm²; Diese Fläche muss ein negatives Vorzeichen bekommen.

Gesamtfläche: A = A₁ + A₂ = 2925 mm² – 1200 mm² = 1725 mm²; Hier wird die Summe der beiden Teil­flächen eingetragen, wobei in diesem Fall die innere Fläche von der ersten Fläche abgezogen wird.

Schwerpunktabstände:

Das sind die Abstände von der Bezugs­kante zu den Schwer­punkten der Teil­flächen:

x₁ = 65 mm / 2 = 32,5 mm

x₂ = (65 mm – 40 mm – 8 mm) + 40 mm / 2 = 37 mm

Produkte aus Flächeninhalt und Schwerpunkt­abstand:

A₁·x₁ = 2925 mm²·32,5 mm = 95062,5 mm³

A₂·x₂ = -1200 mm²·37 mm = -44400 mm³

A₁·x₁ + A₂·x₂ = 95062,5 mm³ – 44400 mm³ = 50662,5 mm³

Berechnung der Lage des Gesamt­schwer­punktes

Nun hat man alle erforderlichen Zwischen­ergebnisse und kann daher den gesuchten Gesamt­schwer­punkt­abstand mit Formel 4.5 berechnen:

$$x_0=\frac{\sum x_i·A_i}{\sum A_i}=\frac{50662.5 \ mm^3}{1725 \ mm^2}=29.37 \ mm$$

Plausibilitätskontrolle:

Der Gesamtschwerpunkt liegt etwas links vom Halbierungs­punkt der längeren Außen­seite:

29.37 mm < 32.5 mm.

Variante: Aufteilung in vier Teilflächen

Für die Berechnung der Lage des Gesamt­schwer­punktes gibt es für viele Aufgaben meist mehrere Möglichkeiten. Man könnte die gegebene Fläche auch in vier Teil­flächen aufteilen:
 

Zunächst wird eine Tabelle erstellt. Die Beschriftung der Flächen ist in der folgenden Ab­bildung ersichtlich. Als Bezugs­kante wird wie schon zuvor die äußerste linke Kante gewählt.
 

Die Berechnung der Werte in den einzelnen Feldern erfolgt ähnlich wie zuvor, es wird jedoch auf die Anführung des genauen Rechen­weges verzichtet. Wie man sieht, entsprechen diese Werte genau den Zahlen aus der vorigen Variante. Allerdings ist die zweite Variante wesentlich komplizierter und daher nicht zu empfehlen.

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Seite erstellt im November 2018. Zuletzt geändert am 09.11.2021.