Weg, Geschwin­dig­keit, Beschleu­nigung & Ruck

Auf dieser Seite wird der Zusammen­hang zwischen Weg, Geschwindig­keit, Beschleu­nigung und Ruck anhand von Dia­grammen, Bei­spielen und Formeln bzw. Her­leitungen ausführlich erklärt (Differenzieren bzw. Integrieren der ver­schiedenen Größen). Zudem wird der Unter­schied zwischen Durch­schnitts- und Momentan-Geschwin­dig­keit erläutert.

Abschließend findet man zu diesem Thema noch ein ausführ­liches praktisches Beispiel, wie es oft in der Schule vorkommt. Es werden unter anderem berechnet: Durch­schnitts-, Anfangs-, Aufprall- und Momentan­geschwin­dig­keit, Steigungen der Tangente (Differential­quotient) und Sekante (Differenzen­quotient).

In diesem Zusammen­hang sei auch auf meinen Brems­weg­rechner und die Formel­sammlung hinge­wiesen!

Inhaltsverzeichnis

• Übersichtstabelle: Zusammenhang dieser vier Größen durch Integrieren bzw. Ableiten
• Berechnung von Ruck, Be­schleu­nigung, Ge­schwin­dig­keit und Weg durch Integrieren
• • Einfaches Beispiel: Bestimmung von Ge­schwindig­keit und Weg für eine konstante Be­schleu­nigung
  • Grafischer Zusammen­hang – erklärt anhand eines ein­fachen Beispiels
• Berechnung dieser Größen durch Differenzieren – prinzizipielle Vor­gehens­weise
• Unterschied Durchschnitts- & Momentan­ge­schwindig­keit
• • Durchschnittsgeschwindig­keit (≙ Differenzen­quotient)
  • Momentangeschwindigkeit (≙ Differential­quotient)
  • • Kleines Beispiel: Berechnung des Differential­quotienten mit dem Limes
• Ausführliches Beispiel aus der (Schul-) Praxis, mit grafischen Dar­stellungen
• • Angabe
  • Lösungen der Aufgabe
  • Geschwindigkeit-Zeit Diagramm mit Differenzen- und Differential­quotienten.

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Übersichtstabelle

Die folgende Tabelle zeigt den Zusammen­hang zwischen Weg, Geschwin­dig­keit, Beschleu­nigung und Ruck durch Ab­leitung bzw. Integration:
 

Die Geschwindig­keit v(t) ist also die Ab­leitung des Weges bzw. das Inte­gral der Beschleu­nigung.

Es sei z. B. die Geschwindig­keit v(t) bekannt. Ist nun der Weg gesucht, muss man die Geschwin­dig­keit nach der Zeit t inte­grieren. Möchte man die Beschleu­nigung wissen, ist die Geschwin­dig­keit abzu­leiten (= differen­zieren).

Berechnung der Größen durch Integrieren – prinzipielle Vorgangsweise

Die Beschleunigung kann sowohl positiv als auch negativ (= Verzö­gerung oder Bremsen) sein. Die SI-Einheit der Beschleu­nigung ist m/s². Die Beschleu­nigung a(t) wird durch Inte­gration des Rucks j(t) nach der Zeit t berechnet:

$$\vec{a}(t)=\int \vec{j}(t)dt$$

Die SI-Einheit der Geschwin­digkeit ist m/s. Die Umrechnung von m/s in km/h ist einfach: Multipliziert man die Geschwin­dig­keit in m/s mit 3.6, so erhält man km/h. Die Ge­schwin­dig­keit v(t) bekommt man durch Inte­gration der Beschleu­nigung a(t) nach der Zeit t:

$$\vec{v}(t)=\int \vec{a}(t)dt$$

Die SI-Einheit des Weges ist m. Der Weg s(t) wird durch Inte­gration der Geschwin­dig­keit v(t) nach der Zeit t berechnet:

$$\vec{s}(t)=\int \vec{v}(t)dt$$

Einfaches Beispiel: Bestimmung von Geschwindigkeit und Weg (konstante Beschleunigung) durch Integrieren

Die Beschleunigung sei bekannt und betrage konstant a (das heißt, sie ist unab­hängig von der Zeit t, der Ruck ist daher 0). Die Geschwin­dig­keit erhält man durch Inte­gration der Beschleu­nigung:

$$v(t) = \int (a)dt = a⋅t + C$$

Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Geschwindigkeit v₀ (= Anfangs­geschwindig­keit). Das t in der obigen Gleichung wird somit durch 0 ersetzt, die Integrations­konstante C wird folglich zu v₀, da der erste Term durch die Multiplikation mit 0 verschwindet:

$$v(0) = v_0 = a⋅0 + C \Rightarrow C = v_0$$

Daher lautet Gleichung 1 für die Geschwindig­keit v(t):

(vgl. Formeln mit Anfangs­geschwin­dig­keit, 3. Zeile, 2. Spalte)

$$v(t) = a⋅t + v_0$$

Integriert man die Geschwindig­keit nach der Zeit t, bekommt man den Weg:

$$s(t)=\int v(t)dt=\int(a·t+v_0)dt=\frac{a·t^2}{2}+v_0·t+C_1$$

Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Weg s₀. Damit ist die Inte­grations­kons­tante C₁ = s₀ und Gleichung 2 für den Weg s(t) lautet daher:

$$s(t)=\frac{a·t^2}{2}+v_0·t+s_0$$

Genau diese Formel wird in einem aus­führlichen Bei­spiel weiter unten benötigt: h(t) = -10/2⋅t² + 20⋅t + 15. Der Luft­wider­stand wird ver­nach­lässigt. Man kann die ein­zelnen Werte direkt ab­lesen:

• Beschleunigung a = -10 m/s², das ent­spricht der gerundeten Erd­beschleu­nigung g. Sie ist in diesem Fall negativ, da sie der Bewegungs­richtung ent­gegen wirkt.
• Anfangsgeschwindigkeit v₀ = 20 m/s
• Anfangsweg (≙ Höhe) s₀ = 15 m

Oftmals ist jedoch zum Zeit­punkt t = 0 der Weg s₀ null. In diesem Fall wird s₀ zu 0, da alle Terme mit t weg­fallen:

$$s(0) = \frac{a⋅0^2}{2} + v_0⋅0 + s_0 = 0 \Rightarrow s_0 = 0$$

Grafischer Zusammenhang – erklärt anhand eines Beispiels

Allgemeines:

Ein bestimmtes Integral berechnet in einem vorge­gebenen Inter­vall stets die von der Kurve und der x-Achse einge­schlossene Fläche.

Die Fläche unterhalb der Beschleu­nigungs­funktion (Abbildung 1) im Intervall [t₀; t₁] ist die Änderung der Geschwin­digkeit in diesem Inter­vall. Addiert man zu diesem Wert noch die Anfangs­geschwin­digkeit v₀ (das ist die Geschwin­dig­keit zum Zeit­punkt t₀), er­hält man die Geschwin­dig­keit zum Zeit­punkt t_1.

Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in Abbildung 2 ent­spricht dem im Intervall [t₀; t₁] zurück­gelegten Weg. Eventuell vorhandene Anfangs­bedingungen müssen stets berück­sichtigt werden!

Angabe:

Alternative:

Die Fläche unterhalb der Funktion in Ab­bildung 1 im Inter­vall [t₀; t₁] ist: 1.25 m/s²⋅16 s = 20 m/s. Zum Zeit­punkt t₀ beträgt die Anfangs­geschwin­dig­keit 10 m/s, dieser Wert wird zu 20 m/s addiert. Das ergibt 30 m/s. Dieser Wert ent­spricht der vorhin er­mittelten Ge­schwin­dig­keit.
 

Alternative:

Die Fläche unter­halb der Funk­tion in Ab­bildung 2 bestimmen. Dazu teilt man die Fläche in ein Recht­eck und ein recht­winkliges Drei­eck auf:

$$A = a⋅b + \frac{b⋅h}{2} = \left(\frac{h}{2} + a\right)⋅b$$

Setzt man für a, b und h die ent­sprechenden Zahlen­werte ein, er­hält man den zurück­gelegten Weg:

$$\left(\frac{30-10}{2}+10\right)\ \frac{m}{s} ⋅ 16\ s=320\ m$$

Man kann diese Fläche natür­lich auch durch Inte­grieren berechnen. Bei der Funk­tion in Ab­bildung 2 handelt es sich um eine Gerade. Die Geraden­gleichung lautet all­gemein:

$$f(x) = k⋅x + d$$

Hier wird x durch t ersetzt: v(t) = k⋅t + d. Der Para­meter d ist der Wert, wo die Gerade die y-Achse schneidet, in diesem Bei­spiel ist d gleich 10. Die Variable k bestimmt man mit dem Differ­enzen­quotienten, also:

$$k = \frac{Δy}{Δt} = \frac{30-10}{16-0} = \frac{20}{16}= \frac{5}{4} $$

Nun hat man alle not­wendigen Werte und man kann somit s(t) berechnen:

$$s(t) = ∫(v(t))dt = ∫\left(\frac{5}{4}⋅t + 10\right)dt = \frac{5}{8}⋅t^2 + 10⋅t + C$$

Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Weg null, daher ist die Integrations­konstante C gleich 0. Nun setzt man noch die beiden Inte­grations­grenzen 16 und 0 ein:

$$s(16) = \frac{5}{8}⋅16^2 + 10⋅16 =320\ m$$

Berechnung der Größen durch Differenzieren – prinzipielle Vorgehensweise

Für die Berechnung der Momentan­geschwin­digkeit und der Beschleu­nigung

durch Differ­enzieren gibt es auch ein praktisches Bei­spiel weiter unten!

Link zu Unterseite

• Zu den Ableitungen gibt es eine eigene Seite: Differenzieren: Ableitungs­regeln & Bei­spiele.

Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung des Weges s(t) nach der Zeit t, siehe dazu auch “Berechnung der Momentan­geschwin­digkeit” weiter unten:

$$\vec v(t)=\dot{\vec s} (t)=\frac{d}{dt}\vec s(t)$$

Die Beschleunigung a(t) ist die erste Ab­leitung der Geschwin­dig­keit v(t) bzw. die zweite Ab­leitung des Weges s(t) nach der Zeit t:

$$\vec a(t) = \dot{\vec v}(t)=\frac{d}{dt}\vec v(t)=\ddot{\vec s}(t)=\frac{d^2}{d^2t}\vec s(t)$$

Die SI-Einheit des Ruckes ist m/s³. Den Ruck j(t) berechnet man wie folgt:

$$\vec j(t) = \dot{\vec a}(t)=\frac{d}{dt}\vec a(t)=\ddot{\vec v}(t)=\frac{d^2}{d^2t}\vec v(t)=\dddot{\vec s}(t)=\frac{d^3}{d^3t}\vec s(t)$$

Durchschnitts- & Momentan­ge­schwin­dig­keit

Für die Berechnung der Durch­schnitts- und Momentan-Ge­schwin­dig­keit gibt es auch ein praktisches Bei­spiel!

Durchschnittsgeschwindigkeit (Differenzenquotient)

Die Durchschnittsgeschwindig­keit v im Intervall [t₀; t₁] – auch mittlere Ge­schwin­dig­keit genannt – wird mit dem Differ­enzen­quotienten bestimmt:

$$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}=k=\frac{zurückgelegter\ Weg}{benötigte\ Zeit}$$

Der Differenzenquotient ent­spricht der Steigung k der Sekante (gelbe Linie), vgl. Ab­bildung 4.

Momentange­schwindig­keit (Differential­quotient – 1. Ab­leitung)

Die momentane Geschwindig­keit v zum Zeit­punkt t₀ (auch als momen­tane Änderungs­rate be­zeichnet) wird mit dem Differ­ential­quotienten er­mittelt, der der Grenz­wert (= Limes) des Differ­enzen­quotienten ist:

$$v(t)=\lim \limits_{t_1 \to t_0} \frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}$$

Einfacher ist es jedoch, die Momentan­geschwin­digkeit mit Hilfe der 1. Ableitung des Weges nach der Zeit t zu berechnen:

$$v(t)=\frac{d}{dt}s(t)=\dot s(t)$$

Um die Momentan­geschwin­dig­keit zu bekommen, setzt man für t den Wert t₀ ein. Der Differ­ential­quotient bzw. die erste Ab­leitung des Weges nach der Zeit t ent­spricht der Steigung k der Tangente (grüne Linie) zum Zeitpunkt t₀, vgl. Abbildung 4 weiter unten.

Beispiel: Berechnung des Differ­ential­quotienten mit dem Limes

Es sei die Funktion h(t) aus dem folgenden Bei­spiel ge­geben:

$$h(t) = s(t) = -5⋅t^2 + 20⋅t + 15$$

Einsetzen dieser Funktion in den Differ­ential­quotienten und passend her­aus­heben ergibt:

$$v(t)=\lim \limits_{t_1 \to t_0} \frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}=\lim \limits_{t_1 \to t_0}\frac{-5·t_1^2+20·t_1+15-(-5·t_0^2+20·t_0+15)}{t_1-t_0}$$

$$=\lim \limits_{t_1 \to t_0}\frac{-5·t_1^2+20·t_1+15+5·t_0^2-20·t_0-15)}{t_1-t_0}$$

$$=\lim \limits_{t_1 \to t_0}\frac{-5·(t_1^2-t_0^2)+20·(t_1-t_0)+15-15}{t_1-t_0}$$

Unter Anwendung des Bino­mischen Lehr­satzes und mit Kürzen erhält man:

$$=\lim \limits_{t_1 \to t_0}\frac{-5·(t_1-t_0)·(t_1+t_0)+20·(t_1-t_0)}{t_1-t_0}=\lim \limits_{t_1 \to t_0}(-5·(t_1+t_0)+20)$$

Nun lässt man t₁ gegen t₀ gehen:

$$=-5·(t_0+t_0)+20=-5·2·t_0+20=-10·t_0+20$$

Wie man sieht, ist differ­enzieren wesent­lich ein­facher und auch schneller!

Ausführliches Beispiel aus der Praxis

Angabe

Eine Kugel oder ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 s von einem Turm senk­recht in die Höhe ge­schossen (lotrechter Wurf nach oben). Die Funktions­gleichung für die Höhe über Grund in Ab­hängig­keit von der Zeit lautet:

$$h(t) = -10/2⋅t^2 + 20⋅t + 15$$

a) Wie hoch ist der Turm?

b) Wie groß ist die Abschuss­geschwin­dig­keit? Gib die Geschwin­dig­keit auch in km/h an!

c) Wann hat die Kugel die größte Höhe erreicht und wie hoch ist sie dann?

d) Berechne die Momentan­ge­schwin­dig­keit zum Zeit­punkt t = 1 und die Gleichung der Tangente!

e) Ermittle die Durchschnitts­ge­schwin­dig­keit im Intervall [1; 2] und die Gleichung der Sekante!

f) Wann und mit welcher Geschwin­dig­keit trifft sie auf dem Boden auf?

g) Bestimme die Beschleu­nigung in Ab­hängig­keit von t!

h) Zeichne h(t), v(t) und a(t).

Hier geht’s direkt zu den Lösungen: a), b), c), d), e), f), g), h)

Wie man auf die Funktion h(t) der Angabe kommen kann, wird weiter oben erklärt.

Lösungen der Aufgabe

Antwort a)

Um die Höhe des Turmes zu be­stimmen, muss man in der Funktions­gleichung h(t) t gleich Null setzen:

$$h(0) = – 10/2⋅0^2 + 20⋅0 + 15$$

Die ersten beiden Terme fallen weg, somit er­hält man: h(0) = 15. Der Turm ist also 15 m hoch.

Antwort b)

Um die Momentange­schwindig­keit zu erhalten, muss man h(t) ein­mal nach t ab­leiten:

$$v(t) = – 10⋅t + 20$$

Zum Zeitpunkt des Ab­schusses ist t gleich 0, also erhält man:

$$v(0) = – 10⋅0 + 20 = 20\ \frac{m}{s}$$

Um km/h zu er­halten, multi­pliziert man die Ge­schwin­dig­keit in m/s einfach mit 3.6: 20⋅3.6 = 72 km/h.

Antwort c)

Die größte Höhe hat die Kugel dann er­reicht, wenn die Ge­schwin­dig­keit null wird. Also:

$$v(t) = 0 = – 10⋅t + 20$$

Durch Umformen erhält man: t = 2 s.

Andere Über­legung: Die größte Höhe muss ein Extrem­wert (“Hoch­punkt”) der Funktion h(t) sein. Extrem­werte werden berechnet, indem man die erste Ab­leitung der Funktion bildet und diese gleich null setzt, da hier die Tangente waag­recht ver­läuft und somit die Steigung 0 sein muss, siehe auch Steigung der Tangente:

$$h'(t) = v(t) = 0 = – 10⋅t + 20$$

Um die gesuchte Höhe zu erhalten, setzt man für t den eben ermittelten Wert ein:

$$h(2) = – \frac{10}{2}⋅2^2 + 20⋅2 + 15 = 35\ m$$

Antwort d)

Die Momentan­geschwin­digkeit wurde schon unter b) berechnet. Um die Ge­schwin­dig­keit zum Zeit­punkt t = 2 zu er­halten, setzt man t gleich 1:

$$v(1) = – 10⋅1 + 20 = 10\ m/s$$

Die Gleichung einer Geraden lautet all­gemein: f(x) = y = k⋅x + d. Im vor­liegenden Fall wird x durch t er­setzt:

$$f(t) = y = k⋅t + d$$

Die Stei­gung ist be­kannt, sie ent­spricht der eben berech­neten Ge­schwin­digkeit: k = 10. Die t-Koor­dinate ist 1, den y-Wert er­hält man, indem man 1 für t in h(t) einsetzt:

$$h(1) = – 10/2⋅1^2 + 20⋅1 + 15 = y = 30$$

Somit lautet die Geraden­gleichung: 30 = 10⋅1 + d. Durch Umformen ergibt sich d = 20. Nun setzt man in y = k⋅t + d die er­mittelten Werte für k und d ein und er­hält damit die ge­suchte Tangenten­gleichung:

$$y = 10⋅t + 20$$

Antwort e)

Die Durchschnitts­geschwin­dig­keit v im Intervall [1; 2], die der Stei­gung k der Sekante ent­spricht, wird mit dem Differ­enzen­quotienten er­mittelt. Den Wert h(t₁) = h(2) = 35 kennt man schon aus Ant­wort c), h(t₀) = h(1) muss noch be­stimmt werden, indem man für t die Zahl 1 in h(t) einsetzt:

$$h(1) = – \frac{10}{2}⋅1^2 + 20⋅1 + 15 = 30\ m$$

Mit den nun er­haltenen Werten kann der Differ­enzen­quotient berech­net werden:

$$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{h(t_1)-h(t_0)}{t_1-t_0}=\frac{35-30}{2-1}=\frac{5}{1}=5\ \frac{m}{s}$$

Die Gleichung der Sekante bestimmt man ähnlich wie in d). In die all­gemeine Geraden­gleichung setzt man einen Punkt und die soeben berechnete Steigung k (≙ dem Differ­enzen­quotienten) ein:

$$f(2) = 35 = 5⋅2 + d$$

Formt man dies um, erhält man d = 25 und damit die Sekanten­gleichung:

$$y = 5⋅t + 25$$

Antwort f)

Die Kugel trifft am Boden auf, wenn die Höhe Null ist. Also setzt man h(t) gleich 0:

$$0 = – \frac{10}{2}⋅t^2 + 20⋅t + 15$$

Diese quadratische Gleichung löst man mit der soge­nannten kleinen oder großen Lösungs­formel bzw. mit dem Taschen­rechner. Man erhält:

$$t_{1,2} = 2 ± \sqrt{7}\ s$$

Es ist nur die positive Lösung gültig, also beträgt t ≈ 4.65 s.

Andere Über­legung: Der Auftreff­punkt muss eine Null­stelle der Funktion h(t) sein. Die Null­stellen werden berechnet, indem man die Funktion h(t) gleich Null setzt.

Die Auftreff­geschwin­dig­keit bestimmt man, indem man in der Gleichung von der Ge­schwin­dig­keit t gleich 4.65 setzt:

$$v(4.65) = – 10⋅4.65 + 20 = – 26.5\ \frac{m}{s}$$

Da die Kugel nicht mehr hinauf-, sondern hinunter­fliegt, ist die Ge­schwin­dig­keit nun negativ!

Antwort g)

Die Beschleunigung erhält man, indem der Weg zwei­mal bzw. die Ge­schwin­dig­keit einmal nach der Zeit t abge­leitet wird. In diesem Bei­spiel lautet die Beschleu­nigung: a(t) = -10 m/s². Die Beschleu­nigung ist also konstant und nicht mehr von t ab­hängig, d. h. sie ist zu jedem Zeitpunkt t gleich groß.

Antwort h)

Abbildung 4 zeigt das Weg-Zeit Dia­gramm, ergänzt mit der Sekante für das Intervall [1; 2] und der Tangente im Punkt P₀ (1/30):
 

In den Abbildungen 5 bzw. 6 sieht man die Ge­schwin­digkeit v in Abhängig­keit von der Zeit t bzw. die konstante Beschleu­nigung a:

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Seite erstellt im März 2015. Zuletzt geändert am 13.11.2021.