Formeln für Geschwin­dig­keit, Be­schleu­nigung, Weg & Zeit

This page in English: Formulas for Speed, Acceleration, Time & Distance

Auf dieser Seite finden Sie alle Formeln für die Berech­nung von Geschwin­dig­keit, Beschleu­nigung, Weg und Zeit mit bzw. ohne An­fangs­geschwindig­keit. Ganz am Ende der Seite gibt es zum besseren Ver­ständnis der Formeln ein kleines Beispiel, indem die benötigte Zeit, die Be­schleu­nigung, die End­geschwindig­keit und die Durch­schnitts­geschwindig­keit berechnet werden.


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Inhaltsverzeichnis

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Formeln für die durch­schnitt­liche Ge­schwin­dig­keit

Mit den folgenden Formeln können die Durch­schnitts­ge­schwindig­keit v, der zurück­gelegte Weg s oder die benötigte Zeit t berech­net werden, wobei die durch­schnittliche (= mittlere) Ge­schwin­dig­keit v konstant ist. Diese Formeln mit den Delta­zeichen Δ stellen die mathe­matisch korrekte Schreib­weise dar; die erste Formel wird auch Differenzen­quotient genannt, da die Differenz der Wege durch die Zeit­differenz divi­diert wird. Oft lässt man das Delta­zeichen jedoch weg, siehe die verein­fachten Formeln im über­nächsten Abschnitt.

$$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}=\frac{s_1-s_0}{t_1-t_0}=\frac{zurückgelegter\ Weg}{benötigte\ Zeit}$$

$$\Delta s= v·\Delta t\qquad \Delta t =\frac{\Delta s}{v}$$

Bedeutung der Variablen

v

konstante Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s im Intervall [t0; t1]

(Englisch velocity, daher die Abkürzung v)
s bzw. Δs zurückgelegter Weg bzw. Strecke (= Wegdifferenz) in m im Intervall [t0; t1]
t bzw. Δt benötigte Zeit (= Zeitdifferenz) in s (Englisch time, daher die Abkürzung t)
s(t0) bzw. s0 Weg zum Zeitpunkt t0 (Ausgangsort bzw. Anfangsweg); s0 und t0 sind oft 0
s(t1) bzw. s1 Weg zum Zeitpunkt t1 (Zielort)


Den Differenzenquotienten und damit die mittlere Geschwindigkeit kann man auch mit diesem Rechner bestimmen:

Vereinfachte Schreibweise dieser Formeln

Die obigen Formeln sind auch in einer ver­ein­fachten Schreib­weise bekannt. Aller­dings muss man be­denken, dass es sich bei Weg und Zeit um Differenzen handelt, siehe auch die folgenden Bei­spiele auf dieser Seite:

  • Beispiel mit Anfangsweg s0 ≠ 0 (Weg­differenz)
  • Beispiel mit Anfangs­zeit t0 ≠ 0 (Zeit­differenz)


Diese Tat­sache kann man aber ignorieren, wenn der An­fangs­weg s0 und die An­fangs­zeit t0 gleich 0 sind.

Vereinfachte Formeln Geschwindigkeit Weg Zeit konstante Ge­schwin­dig­keit
Formeln für Geschwindigkeit, Weg und Zeit bei konstanter Ge­schwin­dig­keit


Achtung auf die Einheiten:

Die Einheiten müssen stets zusammen­passen! Um eine Geschwindig­keit v, die in km/h gegeben ist, in m/s umzu­rechnen, divi­diert man die Geschwindig­keit einfach durch 3.6:

$$v = 18\ km/h \Rightarrow \frac{18}{3.6} \Rightarrow v = 5\ \frac{m}{s}$$


Umgekehrt geht man ähnlich vor: Multi­pliziert man eine Geschwindig­keit v in der Einheit m/s mit 3.6, erhält man die­selbe Geschwindig­keit in km/h:

$$v = 10\ m/s \Rightarrow 10⋅3.6 \Rightarrow v = 36\ km/h$$


Alternative:

Setzt man den Weg in km und die Zeit in h ein, bekommt man die Geschwindig­keit in km/h.

Formeln für die durch­schnitt­liche Be­schleu­nigung

Die durch­schnittliche Be­schleu­nigung a (Englisch acceleration, daher die Abkürzung a), die Ge­schwin­digkeits­änderung v oder die benötigte Zeit t können mit den folgenden Formeln berech­net werden, wobei die durch­schnittliche Be­schleu­nigung a konstant ist:

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_1)-v(t_0)}{t_1-t_0}=\frac{v_1-v_0}{t_1-t_0}=\frac{Geschwindigkeitsänderung}{benötigte\ Zeit}$$

$$\Delta v= a·\Delta t\qquad \Delta t =\frac{\Delta v}{a}$$

Bedeutung der Variablen

a

konstante durchschnittliche Beschleunigung in m/s² im Intervall [t0; t1]
Δv

Geschwindigkeitsänderung (= Geschwin­dig­keits­differenz) in m/s im Intervall [t0; t1]
Δt

benötigte Zeit (= Zeitdifferenz) in s (Englisch time, daher die Abkürzung t)
v(t0) bzw. v0

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 (Anfangsgeschwindigkeit); v0 und t0 sind oft 0
v(t1) bzw. v1

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 (Endgeschwindigkeit)

Hinweise zu den Formeln und speziell zu Differenzen

  • Ein negativer Wert für die Beschleu­nigung bedeutet, dass tat­sächlich gebremst bzw. verzögert wird.
  • Den folgenden Formeln liegt die obige Definition der durch­schnittlichen Be­schleu­­nigung bzw. dessen Integral zu­grunde. Die Geschwin­dig­keit zum Zeitpunkt t0 wird als Anfangs­geschwin­digkeit v0 be­zeichnet und die Ge­schwin­dig­keit zum Zeit­punkt t1 als End­ge­schwin­dig­keit v.
  • Die Zeit­differenz Δt und die Weg­differenz Δs werden ver­ein­facht durch t bzw. s darge­stellt. Sind s(t0) und t0 gleich 0, kann man jedoch ignorieren, dass es sich bei Weg und Zeit eigent­lich um Differenzen handelt. Ein Anfangs­weg s0 ist in den Formeln also prinzipiell nicht berück­sichtigt, da er für die meisten Auf­gaben nicht relevant ist. Man kann aber den Weg s durch den Term s – s0 ersetzen, wie dieses Bei­spiel nach den Formeln zeigt.
  • Weiter unten finden Sie ein weiteres Bei­spiel mit der Berechnung einer Zeit­differenz.

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Formeln bei gleichmäßiger Beschleunigung – Anfangs­geschwindig­keit = 0

Diese Formeln gelten für eine konstante Be­schleu­nigung bzw. Ver­zögerung, wobei sowohl die Anfangs­ge­schwindig­keit als auch der Anfangs­weg null sein müssen.


Im Prinzip sind das die gleichen Formeln wie im folgenden Abschnitt, nur dass die Anfangs­ge­schwindig­keit v0 gleich null gesetzt wird. Die 5. Zeile ent­fällt aufgrund der fehlenden Anfangs­geschwin­dig­keit v0 kom­plett.


Beachten Sie den Hinweis zu den Differenzen im vorigen Abschnitt!
 

Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit; konstante Beschleunigung, Anfangsgeschwindigkeit gleich 0.
Formeln für eine Anfangsgeschwindigkeit gleich 0 bei konstanter Beschleunigung.

Bedeutung der Variablen

v Endgeschwindigkeit in m/s
v0  Anfangsgeschwindigkeit in m/s
a

Beschleunigung bzw. Verzögerung in m/s²
s zurückgelegter (Brems-)Weg (= Differenz der Wege) in m
t benötigte Zeit (= Differenz der Zeiten) in s

Formeln bei gleich­mäßiger Be­schleu­ni­gung – An­fangs­geschwin­dig­keit ≠ 0

Die nachfolgenden Formeln gelten nur für eine gleich­förmige (= kons­tante) Beschleu­nigung bzw. Ver­zögerung (= Bremsen, negative Be­schleu­nigung) mit einer möglichen Anfangsge­schwindigkeit ungleich 0. Beachten Sie den Hinweis zu Differenzen! Zur Bedeutung der Variablen siehe die vorige Tabelle!
 

Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit; konstante Beschleunigung; Anfangsgeschwindigkeit ungleich 0.
Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit für eine Anfangsgeschwindigkeit ungleich 0; Voraussetzung: konstante Beschleunigung.

Beispiel mit Anfangsweg s0

Ist ein Anfangsweg gegeben, wird in der Formel für den Weg (1. Zeile, 3. Spalte) s durch s – s0 ersetzt. Anschließend bringt man s0 auf die andere Seite, um den gesuchten Weg s zu erhalten:

$$s=\frac{a}{2}·t^2+v_0·t\Rightarrow s-s_0=\frac{a}{2}·t^2+v_0·t\Rightarrow s=\frac{a}{2}·t^2+v_0·t+s_0$$

Einfaches Beispiel

Dieses Beispiel zeigt, dass obige Formeln durch­aus auch in der Praxis anwend­bar sind. Man benötigt nur eine Uhr mit Sekunden­anzeige oder eine Stopp­uhr, die auf jedem Smart­phone vor­handen ist, und ein Maß­band.

Angabe

Ein Gartenbahnzug fährt um 16:10:05 ab und hat um 16:10:11 seine Höchst­geschwindig­keit erreicht. Er legt dabei einen Weg von 9 m zurück. Unter der Vor­aus­setzung, dass die An­fangs­geschwindig­keit 0 m/s beträgt (Beschleu­nigung aus dem Still­stand) und die Be­schleu­nigung konstant ist, ist

  • die benötigte Zeit,
  • die durchschnittliche Beschleunigung,
  • die End­geschwindig­keit und
  • die durch­schnittliche Geschwindig­keit zu berechnen.

Berechnung der Zeit

Die für den Beschleu­nigungs­vor­gang benötigte Zeit ist die Differenz der beiden Uhr­zeiten:

$$11 – 5 = 6 \Rightarrow t = 6\ s$$

Berechnung der Beschleu­nigung

Einsetzen in die Formel in der 2. Zeile, letzte Spalte liefert die ge­suchte Beschleu­nigung:

$$a = \frac{2⋅s}{t^2} = \frac{2⋅9\ m}{(6\ s)^2}\Rightarrow a = 0.5\ m/s^2$$

Berechnung der Endge­schwin­dig­keit

Nun kann man sich leicht die Geschwin­dig­keit aus­rechnen, indem man ein­fach eine der drei Formeln aus der 3. Zeile aus­wählt. Bei Ver­wendung der 2. Formel erhält man:

$$v = a⋅t = 0.5\ m/s^2⋅6\ s \Rightarrow v = 3\ m/s$$

Will man die Geschwin­dig­keit in km/h wissen, ist v noch mit 3.6 zu multi­plizieren: 3⋅3.6 = 10.8 km/h

Berechnung der Durch­schnitts­geschwin­dig­keit

Da zum Zeitpunkt t = 0, also zu Beginn, der Weg 0 beträgt, braucht man nur zwei Zahlen zu divi­dieren. Ein­setzen in die Formel v = s/t ergibt:

$$v =\frac{9\ m}{6\ s} \Rightarrow v = 1.5\ m/s = 1.5⋅3.6\ km/h = 5.4\ km/h$$


Wie man sieht, ist die Durch­schnitts­geschwin­dig­keit nur halb so groß wie die End­ge­schwin­dig­keit.

Momentangeschwindigkeit & Momentanbeschleunigung

Ist die Beschleunigung bzw. Ge­schwin­dig­keit nicht kons­tant, ist die Ver­wendung der obigen Formeln unzu­lässig. Statt­dessen berech­net man die Beschleu­nigung, die Geschwin­dig­keit oder den Weg per Differ­ential- oder Inte­gral­rechnung.

Die wichtigsten Formeln

Die momentane Geschwindig­keit v(t) zu einem beliebigem Zeit­punkt t berechnet man durch ein­maliges Ab­leiten (Differenzieren) der Weg­funktion s(t) nach der Zeit t (= Differ­ential­quotient):

$$v(t)=\frac{d}{dt}s(t)=\dot s(t)$$

 

Ist hingegen die momen­tane Beschleu­nigung bekannt, muss man die Beschleu­nigungs­funktion a(t) nach der Zeit t inte­grieren, um die Momentan­geschwin­dig­keit v(t) zu bekommen:

$$v(t)=\int a(t)dt$$

 

Die Momentan­beschleunigung a(t) erhält man durch ein­maliges Ableiten der Geschwindig­keits­funktion v(t) oder durch zwei­maliges Ableiten der Weg­funktion s(t) nach der Zeit t:

$$a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\dot v(t)$$

$$a(t)=\frac{d^2}{d^2t}s(t)=\ddot s(t)$$

 

Den zurückgelegten Weg s(t) bekommt man durch Integration der Geschwindigkeit v(t):

$$s(t)=\int v(t)dt$$


Aus­führ­liche Infos, Her­leitung der Formeln für eine konstante Beschleu­nigung und Bei­spiele:

>> Zusammen­hang Ruck, Beschleu­nigung, Geschwin­dig­keit und Weg <<

Bedeutung der Variablen

v(t)

Funktion der Momentangeschwindigkeit in Abhängigkeit von t
s(t)

Funktion des Weges in Abhängigkeit von t
a(t)

Funktion der Momentanbeschleunigung in Abhängigkeit von t
t Zeit t in s

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Seite erstellt am 11.07.2019. Zuletzt geändert am 26.05.2022.