Hier findest du die Formeln zum Lösen von quadratischen Gleichungen, unter anderem die kleine und die große Lösungsformel. Die höchste Potenz (=Hochzahl), die in einer quadratischen Gleichung vorkommt, ist 2 (also x²). Nach den Formeln werden einige Beispiele angeführt und es wird auch auf diverse Sonderfälle eingegangen.
Beim Berechnen vieler Aufgaben ergeben sich quadratische Gleichungen, die gelöst werden müssen. Hier erfährst du, wie man dabei am besten vorgeht.
Werbung
Lösungsformeln
Jede Quadratische Gleichung kann man stets in der Form a·x²+b·x+c = 0 oder x²+p·x+q = 0 anschreiben. Zum Lösen solcher Gleichungen stehen zwei Formeln zur Verfügung, die sogenannte kleine Lösungsformel und die große Lösungsformel. Je nachdem welche Formel man verwenden möchte, muss man zunächst die quadratische Gleichung in eine der beiden Formen bringen. Erst danach kann die jeweilige Lösungsformel angewandt werden.
Kleine Lösungsformel
$$x^2+p·x+q=0$$
$$x_{1,\ 2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$
Große Lösungsformel
$$a·x^2+b·x+c=0 \qquad a≠0$$
$$x_{1,\ 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4·a·c}}{2·a}$$
Die Buchstaben a, b und c bzw. p und q sind die Koeffizienten. Sie dürfen jede beliebige Zahl annehmen, mit einer Ausnahme: Der Koeffizient a darf nicht 0 sein, da es sich sonst um keine quadratische Gleichung mehr handeln würde.
Bei Verwendung der kleinen Lösungsformel muss vor dem x² nichts bzw. eine 1 stehen! Jede quadratische Gleichung lässt sich übrigens stets mit der kleinen oder mit der großen Lösungsformel lösen. Für einige Spezialfälle gibt es auch schnellere Alternativen, siehe Beispiel 2 und Beispiel 3.
Lösungsfälle einer quadratischen Gleichung
Bei den Lösungen einer quadratischen Gleichung handelt es sich um die Nullstellen einer quadratischen Funktion.
Eine quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder zwei reelle Lösungen, wobei oft nur die positive, reelle Lösung von Bedeutung ist:
- Ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv, gibt es zwei reelle Lösungen: x1 und x2.
- Wenn der Ausdruck unter der Wurzel gleich 0 ist, gibt es nur eine einzige Lösung: x1 = x2.
- Ist der Ausdruck unter der Wurzel hingegen kleiner als 0 (also negativ), gibt es keine einzige reelle Lösung, allerdings zwei komplexe Lösungen.
Sind x1 und x2 Lösungen einer quadratischen Gleichung, können die Koeffizienten p und q mit den folgenden zwei Formeln bestimmt werden:
$$x_1+x_2=-p\qquad x_1·x_2=q$$
Zudem gelten diese Zusammenhänge:
Beispiele
Es folgen nun mehrere, vollständig durchgerechnete Beispiele.
Beispiel 1: Allgemeine quadratische Gleichung
Es sei folgende quadratische Gleichung gegeben, deren Ergebnisse sowohl mit der kleinen als auch der großen Lösungsformel ermittelt werden sollen:
$$-4·x-2·x^2=-30$$
Anwenden der großen Lösungsformel
Um die große Lösungsformel anwenden zu können, muss man die gegebene Gleichung zunächst in die Form a·x²+b·x+c=0 bringen, indem man alle Terme auf eine Seite bringt und anschließend die Terme nach fallenden Potenzen ordnet:
$$-2·x^2-4·x+30=0$$
Man liest ab:
$$a = -2\quad b= -4\quad c= 30$$
Einsetzen in die große Lösungsformel ergibt:
$$x_{1,\ 2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4·(-2)·30}}{2·(-2)}=\frac{4\pm\sqrt{16+240}}{-4}=\frac{4\pm16}{-4}$$
Man erhält für die beiden Lösungen:
$$x_1=\frac{4+16}{-4}=-5$$
$$x_1=\frac{4-16}{-4}=3$$
Anwenden der kleinen Lösungsformel
Um die kleine Lösungsformel verwenden zu können, muss die gegebene Gleichung zu Beginn auf die Form x²+p·x+q=0 umgeformt werden. Dazu dividiert man die schon zuvor umgestellte Gleichung durch -2:
$$-2·x^2-4·x+30=0⇒x^2+2·x-15=0$$
Nun kann man p und q ablesen:
$$p=2 \qquad q=-15$$
Einsetzen in die kleine Lösungsformel liefert:
$$x_{1,\ 2}=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-(-15)}=-1\pm\sqrt{1+15}=-1\pm4$$
Die beiden Lösungen lauten also:
$$x_1=-1-4=-5$$
$$x_2=-1+4=3$$
Beispiel 2: Spezielle quadratische Gleichung mit c = 0
Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:
$$8·x-2·x^2=0$$
Ist der Zahlenterm (= konstantes Glied) Null, kann man natürlich mit einer der beiden Lösungsformeln rechnen. Allerdings gibt es auch eine andere Variante: Man kann x herausheben und anschließend diese beiden Faktoren Null setzen, da ein Produkt nur dann Null sein kann, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist:
$$x·(8-2·x)=0⇒x=0⇒x_1=0\qquad 8-2·x=0⇒8=2·x⇒x_2=4$$
Beispiel 3: Spezielle quadratische Gleichung mit b = 0
Löse diese quadratische Gleichung:
$$-3·x^2+27=0$$
Ist der Term mit dem x (= lineares Glied) Null, kann man wieder mit einer der beiden Lösungsformeln arbeiten. Allerdings gibt es auch hier eine andere Variante:
Man bringt zuerst die 27 auf die rechte Seite, dividiert durch -3 und zieht zuletzt die Wurzel:
$$-3·x^2=-27⇒x^2=9⇒x_1=3\quad x_2=-3$$
Anmerkung:
Es ist zu beachten, dass es bei Gleichungen dieser Art stets zwei Lösungen gibt!
Werbung
Seite erstellt im Juli 2022. Zuletzt geändert am 27.03.2023.