Auf dieser Seite findest du alle Formeln und Zusammenhänge, die man zum Rechnen mit Logarithmen benötigt. Nach den Formeln gibt es ein paar vollständig durchgerechnete Beispiele, die helfen, die Theorie besser zu verstehen.
Logarithmen benötigt man unter anderem beim Lösen von Exponentialgleichungen, wo die gesuchte Unbekannte im Exponenten steht. Zudem kann man viele wichtige Zusammenhänge und technische und natürliche Vorgänge mithilfe von Logarithmen gut darstellen (siehe “logarithmische Skalierung”).
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Grundlegendes
Es gilt folgender Zusammenhang:
$$a^x=u⇔x=log_a (u)$$
Mit a wird die Basis des Logarithmus bezeichnet, x ist der Exponent. Der Logarithmus ist also jener Exponent x, mit dem die Basis a potenziert werden muss, um den Numerus u zu bekommen. Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens, wobei sowohl die Basis als auch der Numerus positive Zahlen sein müssen.
Formeln
Die Formeln bzw. Rechenregeln zum Umformen von Logarithmen lauten:
$$\log_a (u·v)=\log_a (u)+\log_a (v)$$
$$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a (u)-\log_a (v)$$
$$\log_a \left(u^n\right)=n·\log_a (u)$$
$$\log_a \left(\sqrt[n]{u}\right)=\log_a \left(u^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}·\log_a (u)$$
Besondere Logarithmen
Folgende Logarithmen sind von großer Bedeutung:
- lg(a): So wird der dekadische Logarithmus abgekürzt, seine Basis beträgt 10. Daher ist er auch als Zehnerlogarithmus bekannt. Auf den meisten Taschenrechnern wird dafür jedoch die Taste log gebraucht.
- ln(a): Dabei handelt es sich um den sogenannten natürlichen Logarithmus (lateinisch: logarithmus naturalis) zur Basis e, wobei e die Eulersche Zahl ist. Sie beträgt 2,71828. Der natürliche Logarithmus wird sinnvollerweise beim Lösen von Exponentialgleichungen verwendet, da der ln(e) gleich 1 ist.
- lb(a) oder ld(a): Das ist die Abkürzung für den binären Logarithmus, der auch als Zweierlogarithmus oder logarithmus dualis zur Basis 2 bezeichnet wird.
Daher kann man auch schreiben:
$$\log_{10} (u)=lg(u)$$
$$\log_{\mathrm{e}} (u)=ln(u)$$
$$\log_2 (u)=lb(u)=ld(u)$$
Weiters gilt:
$$\log_a (a)=1$$
da das äquivalent ist zu a1 = a
$$\log_a \left(\frac{1}{a}\right)=-1$$
da das äquivalent ist zu a-1 = 1/a
$$\log_a (1)=0$$
da das äquivalent ist zu a0 = 1
Umrechnungen
$$a^x=\mathrm{e}^{x·\ln (a)}$$
$$ln(e)=1$$
$$\log_b (u)=\log_b(a)·\log_a(u)$$
$$\log_b (u)=\frac{\log_a(u)}{\log_a(b)}=\frac{\ln(u)}{\ln(b)}$$
Diese Formel ist sehr nützlich, falls der Taschenrechner nur Logarithmen zur Basis 10 und e berechnen kann, siehe Beispiel 1.
Beispiele
In diesem Abschnitt wird das Rechnen mit Logarithmen durch Beispiele veranschaulicht. Die einzelnen Aufgaben werden vollständig durchgerechnet.
Beispiel 1:
Es ist folgende Gleichung zu lösen:
$$2^x=8$$
1) Probieren:
Die Lösung dieser einfachen Gleichung kann man mittels probieren finden:
$$2·2·2=8⇒2^3=8⇒x=3$$
2) Anwendung Zusammenhang:
Oder man wendet den grundlegenden Zusammenhang an:
$$a^x=u⇔x=log_a (u)⇒2^x=8⇔x=log_2 (8)$$
Gibt man das in einen Taschenrechner ein, der auch Logarithmen zur Basis 2 berechnen kann, erhält man als Ergebnis x=3. Viele einfache Taschenrechner können das jedoch nicht. In diesem Fall kann man sich jedoch mit der Umrechnungsformel helfen:
$$\log_b (u)=\frac{\log_a(u)}{\log_a(b)}⇒\log_2 (8)=\frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)}=\frac{\ln(8)}{\ln(2)}=3$$
3) Anwendung Rechengesetz:
Als Erstes logarithmiert man die Gleichung, wobei die Basis egal ist (man könnte z. B. auch ln verwenden). Man erhält:
$$\log(2^x)=\log(8)$$
Die linke Seite der Gleichung kann mittels der 3. Formel umgeschrieben werden. Durch Dividieren und anschließendes Eintippen in den Taschenrechner bekommt man das Ergebnis:
$$x·\log(2)=\log(8)⇒x=\frac{\log(8)}{\log(2)}=3$$
Beispiel 2:
Die folgende Gleichung (logistische Wachstumsformel) ist nach t umzuformen:
$$N(t)=\frac{N_0·S}{N_0+(S-N_0)·e^{-S·k·t}}$$
Zunächst multipliziert man die Gleichung mit dem Nenner, um die gesuchte Variable t nach oben zu bringen:
$$N(t)·\left(N_0+(S-N_0)·e^{-S·k·t}\right)=N_0·S$$
Dann dividiert man durch N(t)und bringt danach N0 auf die andere Seite:
$$N_0+(S-N_0)·e^{-S·k·t}=\frac{N_0·S}{N(t)}$$
$$(S-N_0)·e^{-S·k·t}=\frac{N_0·S}{N(t)}-N_0$$
Nun dividiert man durch den Klammerausdruck (S-N0), bringt den oberen Teil des Doppelbruchs auf einen gemeinsamen Nenner und löst den Doppelbruch auf:
$$e^{-S·k·t}=\frac{\frac{N_0·S}{N(t)}-N_0}{S-N_0}\Rightarrow e^{-S·k·t}=\frac{\frac{N_0·S-N_0·N(t)}{N(t)}}{S-N_0}\Rightarrow e^{-S·k·t}=\frac{N_0·S-N_0·N(t)}{N(t)·(S-N_0)}$$
Logarithmieren auf beiden Seiten und Anwenden der Rechenregeln für Potenzen ergibt:
$$ln\left(e^{-S·k·t}\right)=ln\left(\frac{N_0·S-N_0·N(t)}{N(t)·(S-N_0)}\right)\Rightarrow (-S·k·t)·ln(e)=ln\left(\frac{N_0·S-N_0·N(t)}{N(t)·(S-N_0)}\right)$$
ln(e) ist 1. Mittels dividieren durch S·k bekommt man schließlich das Ergebnis:
$$t=-\frac{ln\left(\frac{N_0·S-N_0·N(t)}{N(t)·(S-N_0)}\right)}{S·k}$$
Beispiel 3: Exponentialgleichung
Löse diese Exponentialgleichung:
$$2^x+2^{x+4}=3^{x+1}$$
Mithilfe der Rechenregeln für Potenzen können die Hochzahlen umgewandelt werden:
$$2^x+2^x·2^4=3^x·3^1$$
Herausheben von 2x ergibt:
$$2^x·(1+2^4)=3^x·3$$
Zusammenfassen des Klammerausdrucks und dividieren liefert:
$$2^x·17=3^x·3⇒2^x=3^x·\frac{3}{17}$$
Durch Logarithmieren bekommt man:
$$\ln(2^x)=\ln\left(3^x·\frac{3}{17}\right)$$
Anwenden der Rechenregeln und auf die andere Seite bringen ergibt:
$$x·\ln(2)=x·\ln(3)+\ln\left(\frac{3}{17}\right)⇒x·\ln(2)-x·\ln(3)=\ln\left(\frac{3}{17}\right)$$
Durch Herausheben und Dividieren erhält man schließlich das Ergebnis der Exponentialgleichung:
$$x·(\ln(2)-\ln(3))=\ln\left(\frac{3}{17}\right)⇒x=\frac{\ln\left(\frac{3}{17}\right)}{\ln(2)-\ln(3)}≈4.27805$$
Beispiel 4: Logarithmusgleichung
Berechne x:
$$2·ln(4·x+3)-6=0$$
Definitionsmenge D
Zuerst muss die Definitionsmenge D bestimmt werden. Damit weiß man, ob die berechnete Lösung überhaupt ein Teil der Lösungsmenge ist. Der ln ist nur im Positiven definiert, das heißt, die Definitionsmenge von ln lautet: D=ℝ+. Der Ausdruck in der Klammer nach dem ln muss also größer als 0 sein:
$$4·x+3>0$$
Auflösen nach x ergibt:
$$x>-\frac{3}{4}$$
Die Definitionsmenge D lautet also:
$$D = \left\{x\ \epsilon\ ℝ~|~ x > -\frac{3}{4}\right\}$$
Lösung der Gleichung
Nun kann mit dem Lösen der Logarithmusgleichung begonnen werden. Zunächst bringt man 6 auf die andere Seite:
$$2·ln(4·x+3)=6$$
Danach dividiert man durch 6 und kürzt:
$$ln(4·x+3)=\frac{6}{2}\Rightarrow ln(4·x+3)=3$$
Nun wendet man auf beiden Seiten ex an, um ln wegzubekommen, da gilt: eln(x)=x.
$$e^{ln(4·x+3)}=e^3\Rightarrow 4·x+3=e^3$$
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich:
$$4·x=e^3-3\Rightarrow x=\frac{e^3-3}{4}≈4,27138$$
4,27 ist größer als -3/4 laut Definitionsmenge und damit ist x≈4,27 die Lösung der Logarithmusgleichung.
Probe
Durch Einsetzen des Ergebnisses in die Angabe kann überprüft werden, ob die Lösung stimmt:
$$2·ln\left(4·\frac{e^3-3}{4}+3\right)-6=0$$
Kürzen, Vereinfachen und Anwenden der obigen Rechenregeln ergibt eine wahre Aussage:
$$2·ln\left(e^3-3+3\right)-6=0\Rightarrow 2·ln\left(e^3\right)-6=0$$
$$\Rightarrow 2·3·ln(e)-6=2·3·1-6=0\Rightarrow 6-6=0\Rightarrow 0=0$$
Beispiel 5:
Schreibe diesen Term als getrennte Terme an:
$$\log\left(\frac{3·x}{\sqrt[3]{x}·y^2}\right)$$
Anwenden der Rechenregeln ergibt:
$$\log(3·x)-\log\left(x^{\frac{1}{3}}\right)-\log\left(y^2\right)=\log(3)+\log(x)-\frac{1}{3}·\log(x)-2·\log(y)$$
Beispiel 6:
Schreibe als Logarithmus eines Terms an:
$$\frac{1}{4}·\left[2·\ln(x)+\ln(y)-\ln(2·x+y)-3·\ln(x)\right]$$
Mithilfe der Rechenregeln bekommt man:
$$\frac{1}{4}·\left[\ln\left(x^2\right)+\ln(y)-\ln(2·x+y)-\ln(x^3)\right]=\frac{1}{4}·\ln\left(\frac{x^2·y}{(2·x+y)·x^3}\right)$$
Kürzen von x² und anschreiben als Wurzel ergibt:
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Seite erstellt im Juli 2022. Zuletzt geändert am 17.04.2023.