Mathematische Gleichungen – ein kurzer Überblick

Auf dieser Seite findest du ein paar Basis­informationen zum Thema Gleichungen und natür­lich auch die Links zu meinen Unter­seiten. Das Lösen von Gleichungen gehört zu den Grund­lagen der Mathe­matik und Gleichungen spielen auch in vielen – ins­besondere tech­nischen Gebieten und im Wirt­schafts- und Finanz­wesen – eine sehr große Rolle. Wie ich im Zuge meiner Tätigkeit als Privat­lehrer fest­stellen konnte, haben sehr viele Schüler Probleme mit dem Lösen von Gleichungen. Unter anderem auch des­halb habe ich mich hier diesem Thema ge­widmet.

Diese Unterseiten habe ich bis­lang erstellt:

• Lineare Gleichungen
• Quadratische Gleichungen – Lösung mittels Lösungs­formeln & auch Alter­nativen für diverse Spezial­fälle
• Exponentialgleichungen – Lösung mit An­wendung des Loga­rithmus
• Kubische Gleichungen (= Gleichungen 3. Grades) – Lösung mit­tels der Car­danischen Formeln
• Lineare Differential­gleichungen mit kons­tanten Koef­fi­zienten

Grundlagen zu Gleichungen

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung erkennt man an dem Gleich­heits­zeichen “=” zwischen zwei Aus­drücken, die man auch als Terme be­zeichnet. Meist kommen in Gleichungen auch Vari­ablen vor. Das sind Platz­halter für Zahlen, die man noch nicht kennt. Für die Vari­ablen werden in der Regel die Klein­buch­staben x und y ver­wendet, aber auch die Buch­staben a, b, c und d sind oft dafür in Ge­brauch. Die Zahlen nennt man da­gegen Kons­tanten.

Das wäre ein Beispiel für eine ein­fache line­are Gleichung:

$$3·x=6$$

Die Zahlen 3 und 6 sind die Kons­tanten und das x ist die Vari­able. Divi­diert man nun beide Seiten der Gleichung durch 3, er­hält man die Lösung x=2.

Welche Gleichungen gibt es?

Es gibt relativ viele unter­schiedliche Arten von Gleichungen:

• Lineare Gleichungen – dabei handelt es sich um die einfachste Form der Gleichungen, da nur x in der Gleichung stehen. Die höchste Potenz (=Hochzahl), die in der Gleichung vorkommt, ist also 1. Bei­spiel: 4·x=8.
• Quadratische Gleichungen – die höchste Potenz, die in der Gleichung vor­kommt, ist 2 (also z. B. x²) – werden meist unter An­wendung der großen oder der kleinen Lösungs­formel ge­löst. Es gibt aller­dings für di­verse Spezial­fälle auch Alter­nativen, die dann etwas schneller zum Ziel führen. Bei­spiel: x²+2·x-4=0
• Kubische Gleichungen – also Gleichungen 3. Grades (die höchste Potenz in der Gleichung ist 3, also z. B. x³) – können mit­hilfe der soge­nannten Car­danischen Formeln ge­löst werden. Alter­nativ dazu ist es möglich, eine Lösung zu er­raten und dann eine Poly­nom­division durch­zuführen. Poly­nom­divi­sionen werden auch noch teil­weise in Schulen durch­geführt, während man von den Car­danischen Formeln in der Regel nichts hört.
• Bei Exponentialgleichungen steht die gesuchte Größe im Expo­nenten, also in der Hoch­zahl. Die Lösung solcher Gleichungen kann meist nur unter Anwendung der Loga­rithmus-Rechen­regeln ge­funden werden. Bei­spiel: 2^x+2^x+4=3^x+1

Weiters gibt es noch Bruch­gleichungen, Wurzel­gleichungen, Differential­­gleichungen und Integral­gleichungen.

Definitionsmenge D

Die Definitions­menge D gibt an, welche Zahlen man für x ein­setzen darf. In vielen Fällen sind die re­ellen Zahlen ℝ die Defini­tions­menge.

Bei Bruch­gleichungen sind meist ein paar Zahlen von der Defini­tions­menge ausge­nommen. Bei­spiel:

$$\frac{3·x+5}{3-x}=\frac{5·x}{4+2·x}$$

Die Zahlen 3 und -2 sind nicht Teil der Defini­tions­menge, da sonst 0 im Nenner stehen würde und das ist nicht er­laubt. Die Defini­tions­menge sind daher alle re­ellen Zahlen außer -2 und 3, der Schräg­strich \ be­deutet ohne:

$$D=ℝ\backslash \{-2; 3\}$$

Unter einer Wurzel darf – setzt man als Grund­menge die re­ellen Zahlen ℝ vor­aus – nie­mals eine nega­tive Zahl stehen, wes­halb z. B. die Defini­tions­menge der Wurzel­gleichung √(x)=3 wie folgt lautet:

$$D=ℝ^+_0$$

Die Defini­tions­menge sind also alle posi­tiven reellen Zahlen in­klusive 0.

Was ist das Ziel?

In der Regel ist es das Ziel, die gege­bene Gleichung nach der ge­suchten Vari­ablen – also meist nach x – aufzu­lösen und danach die Lösungs­menge L anzu­geben. Die Lösungs­menge sind all jene Zahlen, die man in die Gleichung für die zu Be­ginn unbe­kannte Variable ein­setzen kann. Dazu muss man auf beiden Seiten der Gleichung stets das­selbe tun. Man kann z. B. die gesamte Gleichung mit einem Term multipl­izieren (wenn sich etwa die ge­suchte Vari­able im Nenner be­findet – also in einem Bruch unten steht) oder durch einen Term divi­dieren oder auch ein­zelne Terme durch Plus- oder Minus­rechnen auf die andere Seite bringen.

Bei kompli­zierteren Gleichungen gibt es spezi­elle Lösungs­methoden (z. B. Lösungs­formel für qua­dra­tische Gleichungen, Her­aus­heben, Wurzel­ziehen, Loga­rith­mieren für Expo­nential­gleichungen), die auf den je­weiligen weiter oben ange­führten Unter­seiten zu finden sind.

Lösungsmenge L und wahre & falsche Aussagen

Damit eine Gleichung über­haupt ge­löst werden kann, darf nur eine Unbe­kannte darinnen vor­kommen. Ist das nicht der Fall, muss man mehrere von­ein­ander unab­hängige Gleichungen finden – für jede Unbe­kannte be­nötigt man eine Gleichung. Mehrere Gleichungen bilden ein soge­nanntes Gleichungs­system. Ein lineares Gleichungs­system kann mittels Gleich­setzungs­ver­fahren, Ein­setzungs­ver­fahren oder Elimina­tions­ver­fahren (Additions­verfahren) ge­löst werden.

Aber selbst dann sind nicht alle Gleichungen bzw. Gleichungs­systeme lösbar, denn Gleichungen können sowohl wahre als auch falsche Aus­sagen be­schreiben. Ob einer der beiden Fälle vorliegt, erkennt man meist erst dann, wenn man die Gleichung ver­ein­facht hat.

• Erhält man eine wahre Aus­sage, beispielsweise 3=3, kommen alle Zahlen als Lösung in Frage. Bei solchen allgemeingültigen Gleichungen lautet die Lösungsmenge L = ℝ, falls die Definitionsmenge alle reellen Zahlen sind.
• Im Falle einer falschen Aussage, zum Beispiel 5=8, gibt es hin­gegen gar keine Lösung – es handelt sich also hierbei um eine unlösbare Gleichung und die Lösungsmenge L ist leer: L={ }.

Es ist zu be­achten, dass die Lösungs­menge auch von der Defini­tions­menge ab­hängt. Bei­spiels­weise sind -3 und 3 die Lösungen der Gleichung x² = 9. Diese beiden Zahlen sind auch die Lösungs­menge, falls die re­ellen Zahlen ℝ die Defini­tions­menge dar­stellen: L={-3; 3}. Sind hin­gegen die natür­lichen Zahlen ℕ die Defini­tions­menge, ist nur 3 Teil der Lösungs­menge: L={3}.

Seite erstellt am 31.01.2023. Zuletzt geändert am 09.07.2023.